a: \(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\left(-m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4+4m+12\)

\(=4m^2-4m+16\)

\(=\left(2m-1\right)^2+15>0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Theo đề, ta có:

\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2>=10\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)^2-2\left(-m-3\right)>=10\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4+2m+6-10>=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-6m>=0\)

=>m<=0 hoặc m>=3/2

Sửa đề: a + 2b + 3c = 1

Xét: \(4x^2-4\left(2a+1\right)x+4a^2+192abc+=0\)

có: \(\Delta_1'=4\left(2a+1\right)^2-4\left(4a^2+192abc+1\right)=16a-768abc=16a\left(1-48bc\right)\)

Xét \(4x^2-4\left(2b+1\right)x+4b^2+96abc+1=0\)

có: \(\Delta_1'=4\left(2b+1\right)^2-4\left(4b^2+96abc+1\right)=16b-384abc=16b\left(1-24ac\right)\)

Ta lại xét: \(\left(1-48bc\right)+\left(1-24ac\right)=2-24c\left(a+2b\right)\)

\(=2-24c\left(1-3c\right)=2\left(36c^2-12c+1\right)=2\left(6c-1\right)^2\ge0\)với mọi c 

=> Tồn tại ít nhất 1 trong 2 số: \(\left(1-48bc\right);\left(1-24ac\right)\) không âm 

Vì a và b không âm 

=> Tồn tại ít nhất 1 trong 2 số : \(16a\left(1-48bc\right);16b\left(1-24ac\right)\)không âm 

=> Tồn tại it nhất 1 trong 2 \(\Delta_1';\Delta_2'\)không âm 

=> Có ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm.

a) đenta=b^2-4c

2b+4c=-1=>c=-1-2b)/4

thay vô chứng minh nó lớn hơn 0

x1+x2=b

x1x2=c

ta có x1=2x2

thay vô tìm x1;x2 theo b,c rồi thay vô 

mk tính được x1=2x;x2=b/3 thay cái này vô x1-2x2=0 tìm ra b

x1=căn(c/2);x2=căn(2c) thay vô cái x1-2x2=0 tìm ra c

a: Khi m=1 thì phương trình sẽ là \(x^2-3x-5=0\)

\(\text{Δ}=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-5\right)=9+20=29\)

Do đó: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{3-\sqrt{29}}{2}\\x_2=\dfrac{3+\sqrt{29}}{2}\end{matrix}\right.\)

b: \(\text{Δ}=\left(2m+1\right)^2-4\left(-m-4\right)\)

\(=4m^2+4m+1+4m+16\)

\(=4m^2+8m+17\)

\(=4m^2+4m+4+13\)

\(=\left(2m+2\right)^2+13>0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

a, Thay m =1 ta đc 

\(x^2-3x-5=0\)

\(\Delta=9-4\left(-5\right)=9+20=29>0\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb 

\(x=\dfrac{3\pm\sqrt{29}}{2}\)

b, Ta có \(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(-m-4\right)=4m^2+4m+1+4m+16\)

\(=4m^2+8m+16+1=4\left(m^2+2m+4\right)+1=4\left(m+1\right)^2+13>0\)

vậy pt luôn có 2 nghiệm pb 

a, Thay m=1 vào pt ta có:
\(x^2-\left(2.1+1\right)x-1-4=0\\ \Leftrightarrow x^2+3x-5=0\)

\(\Delta=3^2-4.1.\left(-5\right)=9+20=29\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-3-\sqrt{29}}{2}\\x_2=\dfrac{-3+\sqrt{29}}{2}\end{matrix}\right.\)

b, Ta có: 

\(\Delta=\left[-\left(2m+1\right)\right]^2-4.1.\left(-m-4\right)\\=\left(2m+1\right)^2+4\left(m+4\right)\\ =4m^2+4m+1+4m+16\\ =4m^2+8m+17\\ =4\left(m^2+2m+1\right)+13\\ =4\left(m+1\right)^2+13>0 \)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

a, Khi m=2, phương trình trở thành:

\(2x^2-5x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy với m=2, phương trình có nghiệm \(x=\dfrac{1}{2};x=2\)

b, \(\Delta=\left(m+3\right)^2-8m=m^2-2m+9=\left(m-1\right)^2+8>0,\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m

Theo định lí Vi-et: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+3}{2}\\x_1x_2=\dfrac{m}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=\dfrac{m^2+6m+9}{4}\\4x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\dfrac{m^2-2m+9}{4}\)

\(\Rightarrow A=\left|x_1-x_2\right|=\dfrac{\sqrt{m^2-2m+9}}{2}=\dfrac{\sqrt{\left(m-1\right)^2+8}}{2}\ge\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow minA=\sqrt{2}\Leftrightarrow m=1\)

 pt: \(2x^2-\left(m+3\right)x+m=0\left(1\right)\)

a, khi m=2 ta có: \(2x^2-5x+2=0\)(2)

\(\Delta=\left(-5\right)^2-4.2.2=9>0\)

vậy pt(2) có 2 nghiệm phan biệt \(x3=\dfrac{5+\sqrt{9}}{2.2}=2\)

\(x4=\dfrac{5-\sqrt{9}}{2.2}=0,5\)

b,từ pt(1) có \(\Delta=\left[-\left(m+3\right)\right]^2-4m.2=m^2+6m+9-8m\)

\(=m^2-2m+9=\left(m-1\right)^2+8>0\left(\forall m\right)\)

vậy \(\forall m\) pt(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1,x2

điều kiện để pt(1) có 2 nghiệm phân biệt không âm khi

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\left(cmt\right)\\x1+x2>0\\x1.x2>0\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m+3}{2}>0\\\dfrac{m}{2} >0\end{matrix}\right.\)\(< =>\left\{{}\begin{matrix}m>-3\\m>0\end{matrix}\right.\)

\(< =>m>0\)

theo vi ét =>\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=\dfrac{m+3}{2}\\x1.x2=\dfrac{m}{2}\end{matrix}\right.\)

\(=>A=\left|x1-x2\right|\)

\(=>A=\sqrt{\left(x1-x2\right)^2}=\sqrt{\left(x1+x2\right)^2-4x1x2}\)

\(A=\sqrt{\left(\dfrac{m+3}{2}\right)^2-4\dfrac{m}{2}}=\sqrt{\dfrac{m^2+6m+9-8m}{4}}\)

\(A=\sqrt{\dfrac{\left(m-1\right)^2+8}{4}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(m-1\right)^2+8}\)\(\ge\sqrt{2}\)=>Min A=\(\sqrt{2}\)

dấu = xảy ra <=>m=1(TM)